Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya

Diposting pada

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya – Salam ! Kali ini Kumpulan Contoh Teks akan berbagi mengenai Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya. Turunan Fungsi adalah bentuk fungsi lain dari fungsi sebelumnya. Turunan menunjukkan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring berjalannya nilai input. Turunan biasa disebut juga deferensial, atau derivativ.

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya

Konsep mengenai turunan fungsi tidak terlepas dari materi sebelumnya, yaitu limit fungsi. Untuk menentukan turunan fungsi secara umum, kita menggunakan konsep limit. Turunan dari suatu fungsi dapat dihitung dengan cara membagi perubahan nilai y terhadap x, dengan perubahan x mendekati nol. Oleh karena nilai perubahan x mendekati nol, maka perhitungan dilakukan dengan menggunakan konsep limit fungsi.

Misalkan f(x) atau y adalah sebuah fungsi, maka turunan pertama dari fungsi tersebut dinyatakan sebagai f’(x) atau y’. Konsep mengenai turunan fungsi akan dibahas sekilas pada bagian berikut ini.

 

Definisi Turunan Fungsi

Misalkan f(x) adalah sebuah fungsi, maka f’(x) menyatakan turunan pertama dari fungsi f(x). Sedangkan f”(x) menyatakan turunan kedua dari fungsi f(x). Dan begitu seterusnya. Turunan pertama dari fungsi f(x) dapat didefinisikan sebagai berikut.

f'(x)=\lim_{h\to\0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

 

Rumus Dasar Turunan Aljabar

Berikut adalah rumus – rumus turunan fungsi aljabar.

  1. Jika f(x) = k, maka f’(x) = 0
  2. Jika f(x) = ax, maka f’(x) = a
  3. Jika f(x) = axn, maka f’(x) = anxn-1

 

Rumus Turunan Berantai (Aturan Rantai)

Turunan berantai digunakan jika fungsi tersebut merupakan fungsi komposisi. Artinya, ada sebuah fungsi di dalam fungsi lainnya.

Jika h(x) = f((g(x)), maka h’(x) = f’(g(x)) . g’(x)

Untuk cara lebih mudahnya, kita turunkan terlebih dahulu fungsi yang berada di luar seperti biasa. Setelah selesai, jangan lupa untuk mengalikan hasilnya dengan turunan fungsi yang berada di dalam.

 

Rumus Perkalian dan Pembagian Turunan

Rumus perkalian dan pembagian ini digunakan bila bentuk fungsi yang diturunkan berupa perkalian atau pembagian.

  1. Jika f(x) = u.v , maka f’(x) = u’v + uv’
  2. Jika f(x)=\frac{u}{v},  maka f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}

 

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya berikut.

 

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya 1 (Definisi Turunan)

Dengan menggunakan konsep limit, tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = x2 + 3x !

Pembahasan Soal Turunan Fungsi:

Ingat bahwa definisi turunan pertama suatu fungsi adalah f'(x)=\lim_{h\to\0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}  . Dengan mensubstitusikan nilai f(x), didapat,

f'(x)=\lim_{h\to\0}\frac{(x+h)^2+3(x+h)-(x^2+3x)}{h}

f'(x)=\lim_{h\to\0}\frac{x^2+2xh+h^2+3x+3h-x^2-3x}{h}

f'(x)=\lim_{h\to\0}\frac{2xh+h^2+3h}{h}

f'(x)=\lim_{h\to\0}\frac{h(2x+h+3)}{h}

f'(x)=\lim_{h\to\0}{(2x+h+3)}

Dengan mensubstitusikan nilai h = 0, akan didapat 2x + 0 + 3 atau f’(x) = 2x + 3.

Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) adalah f’(x) = 2x + 3

 

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya 2 (Turunan Aljabar)

Diketahui g(x) = 3x3 – x2 + 2x – 7. Maka turunan pertama dari fungsi g(x) adalah….

Pembahasan Soal Turunan Fungsi:

Dengan mengingat rumus dasar turunan aljabar, diperoleh,

g’(x) = 3.3x2 – 1.2x1 + 2 – 0

g’(x) = 9x2 – 2x + 2

Jadi, turunan pertama dari fungsi g(x) adalah g’(x) = 9x2 – 2x + 2

 

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya 3 (Turunan Aljabar)

Jika f(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + 1 , nilai dari f”(1) adalah….

Pembahasan Soal Turunan Fungsi:

Pertama, kita tentukan dulu turunan pertama dari fungsi f(x). Dengan mengingat rumus turunan aljabar, diperoleh,

f’(x) = 1.4x3 + 2.3x2 – 3.2x1 + 0

f’(x) = 4x3 + 6x2 – 6x

Kemudian, kita tentukan turunan kedua dari fungsi f(x).

f”(x) = 4.3x2 + 6.2x – 6

f”(x) = 12x2 + 12x – 6

Didapat f”(x) = 12x2 + 12x – 6, maka f”(1) = 12(1)2 + 12(1) – 6 atau f”(1) = 18.

Jadi, nilai f”(1) = 18.

 

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya 4 (Turunan Aljabar)

Jika f(x)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}, maka f’(x) adalah….

Pembahasan Soal Turunan Fungsi:

Pertama, kita ubah terlebih dahulu bentuk fungsi menjadi bentuk axn.

f(x) = x + x-1 + x-1/2

Dengan demikian, kita dapat menurunkan fungsi tersebut seperti biasa.

f’(x) = 1 – x-2 – ½ x-3/2

f'(x)=1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}

 

 

Jadi, f'(x)=1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.

 

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya 5 (Turunan Berantai)

Jika y’ menyatakan turunan pertama dari fungsi y = (x2 + x – 1)3, laju perubahan y saat x = 1 adalah….

Pembahasan Soal Turunan Fungsi:

Kita tentukan terlebih dahulu turunan dari fungsi y menggunakan aturan rantai.

y’ = 3(x2 + x – 1)2 . (2x + 1)

y’ = (6x + 3) (x2 + x – 1)2

 Laju perubahan y pada saat x = 1 adalah (6(1) + 3) (12 + 1 – 1)2 = 9.

Jadi, laju perubahan y saat x = 1 adalah 9.

 

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya 6 (Turunan Berantai)

Turunan pertama dari fungsi f(x)=\sqrt{2x^2-4x+4} adalah…

Pembahasan Soal Turunan Fungsi:

Kita ubah terlebih dahulu fungsi tersebut dalam bentuk pangkat pecahan. Dengan mengubah bentuk akar menjadi pangkat, diperoleh,

f(x)=(2x^2-4x+4)^{\frac{1}{2}}

Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunannya adalah,

f'(x)=\frac{1}{2}(2x^2-4x+4)^{-\frac{1}{2}} . (4x-4)

f'(x)=(2x-2)(2x^2-4x+4)^{-\frac{1}{2}}

Jadi, turunan pertamanya adalah f'(x)=(2x-2)(2x^2-4x+4)^{-\frac{1}{2}}.

 

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya 7 (Perkalian Turunan)

Diketahui fungsi f(x) = (x + 1)(x2 – x + 7). Maka laju perubahan fungsi f(x) pada saat x = 0 adalah…

Pembahasan Soal Turunan Fungsi:

Untuk mengerjakan soal bentuk ini, kita gunakan aturan perkalian turunan. Misalkan fungsi u = x + 1, dan v = x2 – x + 7. Maka u’ = 1 dan v’ = 2x – 1. Dengan melakukan substitusi pada rumus, didapat,

f’(x) = u’v + uv’

f’(x) = 1(x2 – x + 7) + (x + 1)(2x – 1)

f’(x) = x2 – x + 7 + 2x2 + x – 1

f’(x) = 3x2 + 6

f’(0) = 3(0)2 + 6

f’(0) = 6

Jadi, laju perubahan fungsi f(x) pada saat x = 0 adalah 6.

 

Soal Turunan Fungsi Dan Pembahasannya 8 (Pembagian Turunan)

Turunan dari fungsi f(x)=\frac{x^2+3}{4x-7} adalah….

Pembahasan Soal Turunan Fungsi:

Untuk menurunkan fungsi berbentuk pecahan, kita gunakan aturan pembagian turunan. Misalkan u = x2 + 3 dan v = 4x – 7, maka u’ = 2x dan v’ = 4. Dengan melakukan substitusi pada rumus, akan diperoleh,

f'(x)=\frac{2x(4x-7)-(x^2+3)4}{(4x-7)^2}

f'(x)=\frac{8x^2-14x-4x^2-12}{(4x-7)^2}

 

f'(x)=\frac{4x^2-14x-12}{(4x-7)^2}

 

Jadi, turunan dari fungsi f(x) adalah f'(x)=\frac{4x^2-14x-12}{(4x-7)^2}.

 

Soal – soal mengenai Turunan Fungsi banyak sekali variasinya. Bentuk – bentuk turunan yang tidak terbahas pada artikel kali ini akan kita bahas pada artikel berikutnya. Seperti turunan trigonometri, turunan eksponensial, dan lainnya.

Kita cukupkan saja artikel kali ini. Di lain kesempatan, kita akan membahas materi lainnya. Mari kita junjung tinggi kuatnya ilmu. Ilmu yang telah mendasari semua hal di dunia ini. Sekian, selamat berlatih ! Sukses selalu !

 

 

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *