Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya

Diposting pada

Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya – Salam ! Kali ini Kumpulan Contoh Teks  akan membahas materi mengenai Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya. Sistem Persamaan adalah beberapa persamaan yang memiliki dua variabel atau lebih. Ada beberapa jenis sistem persamaan, misalnya Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV), dan Sistem Persamaan Linear Kuadrat.

Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya

            Untuk materi SPLDV banyak kita pelajari ketika SMP, dan untuk materi SPLTV dan sistem persamaan linear kuadrat akan dipelajari di jenjang SMA. Cara yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan yang paling umum adalah dengan menggunakan metode substitusi, dan eliminasi.

 

Metode Eliminasi

Metode eliminasi digunakan ketika koefisien salah satu variabel sudah sama atau berlawanan tanda. Sehingga kita hanya tinggal mengurangkan atau menjumlahkan kedua persamaan agar salah satu variabel hilang dan membentuk persamaan baru yang lebih simpleks.

 

Metode Substitusi

Metode substitusi adalah metode menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain. Dari sini akan diperoleh persamaan baru yang nantinya bisa di substitusikan ke persamaan yang lain sehingga persamaan yang baru akan menjadi persamaan linear satu variabel.

            Berikut adalah contoh soal mengenai sistem persamaan.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 1 (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Substitusi)

            Nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + 3y = -1, dan 2x – y = 5 adalah….

            Pembahasan:

            Dalam contoh ini kita akan mencoba menggunakan teknik substitusi. Perhatikan persamaan 2x – y = 5. Dari persamaan tersebut akan didapat y = 2x – 5. Dengan mensubstitusikan nilai y = 2x – 5 ke persamaan x + 3y = -1, akan didapat,

            x + 3(2x – 5) = -1

            x + 6x – 15 = -1

            7x = 14

            x = 2

            Didapat nilai x = 2. Ingat bahwa y = 2x – 5. Oleh karena itu y = 2(2) – 5 atau y = -1.

            Jadi, nilai x dan y yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = 2 dan y = -1.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 2 (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Substitusi)

            Jika x dan y memenuhi persamaan 4x – y = 8 dan –2x + 5y = 14, nilai x2 + y2 sama dengan….

            Pembahasan:

            Perhatikan persamaan 4x – y = 8. Dari persamaan tersebut didapat nilai y = 4x – 8. Dengan mensubstitusikannya ke persamaan -2x + 5y = 14, akan didapat,

            -2x + 5(4x – 8) = 14

            -2x + 20x – 40 = 14

            18x = 54

            x = 3

            Didapat nilai x = 3. Ingat bahwa y = 4x – 8. Maka y = 4(3) – 8 atau y = 4. Dari data tersebut didapat nilai x2 + y2 = 32 + 42, sehingga x2 + y2 = 25

            Jadi, nilai x2 + y2 = 25.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 3 (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Eliminasi)

            Jika 2x + 3y = 7 dan x + y = 2, nilai a yang memenuhi persamaan ax + 3y = 1 adalah….

            Pembahasan:

            Dalam contoh ini akan kita coba menggunakan teknik eliminasi. Perhatikan persamaan x + y = 2. Jika kedua ruas pada persamaan kita kalikan 2 akan didapat 2x + 2y = 4. Tujuannya adalah menyamakan koefisien x antara persamaan x + y = 2 dengan persamaan 2x + 3y = 7. Lantas bagaimana bila kita ingin menyamakan koefisien y dengan cara mengalikan dengan 3 ? Boleh saja. Tergantung selera kita masing – masing, dan tergantung mana yang lebih mudah.

            Perhatikan bahwa,

            2x + 3y = 7

            2x + 2y = 4

            Dengan mengurangkan kedua persamaan, diperoleh nilai y = 3. Dengan meninjau nilai y = 3 dan x + y = 2, akan didapat x + 3 = 2, atau x = -1. Sehingga didapat penyelesaian dari persamaan tersebut adalah (x,y) = (-1,3).

            Selanjutnya, tinjau bentuk ax + 3y = 1. Dengan mensubstitusikan nilai x dan y yang telah didapat, akan diperoleh a(-1) + 3(3) = 1, atau –a + 9 = 1, sehingga a = 8.

            Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 8.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 4 (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Eliminasi)

            Jika penyelesaian dari sistem persamaan 2ax – by = 9 dan ax + 3by =  -13 adalah x = 2 dan y = -5, maka nilai a – b =….

            Pembahasan Soal Sistem Persamaan:

            Diketahui nilai x = 2 dan y = -5. Maka dilihat dari persamaan 2ax – by = 9 akan didapat 2a(2) – b(-5) = 9 atau 4a + 5b = 9 …(1). Selanjutnya, dilihat dari persamaan ax + 3by = -13, akan didapat a(2) + 3b(-5) = -13 atau 2a – 15b = -13 …(2).

            Perhatikan persamaan (1) dan (2). Jika persamaan (2) kita kalikan kedua ruas dengan 2, maka akan didapat 4a – 30b = -26. Dan jika kita kurangkan dengan persamaan (1), akan diperoleh bentuk,

            4a + 5b = 9

            4a – 30b = -26

            ____________ –

                        35b = 35

                        b = 1

            Didapat nilai b = 1. Akibat yang didapat dari persamaan (1) adalah 4a + 5(1) = 9, atau 4a = 4 sehingga a = 1. Maka, nilai a – b = 1 – 1 atau a – b = 0.

            Jadi, nilai a – b = 0.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 5 (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Eliminasi)

            Diketahui \frac{2}{x} - \frac{3}{y}=1 dan \frac{1}{x} + \frac{5}{y}=7 maka nilai dari 2x + y = …

            Pembahasan Soal Sistem Persamaan:

            Perhatikan bahwa soal tersebut bukanlah persamaan linear dua variabel yang sering kita jumpai. Kita tidak bisa menyamakan koefisien dari salah satu variabel maupun menyatakan salah satu variabel agar bisa di substitusi. Oleh karena itu, cara yang paling baik adalah dengan memisalkan bentuk \frac{1}{x}=a dan \frac{1}{y}=b . Dalam hal ini, akan didapat persamaan baru, yaitu,

            2a – 3b = 1 …(1)

            a + 5b = 7 …(2)

            Dengan mengalikan persamaan (2) dengan 2 dan mengurangkannya dengan persamaan (1), akan diperoleh,

            2a – 3b = 1

            2a + 10b = 14

            _____________-

                        -13b = -13

                        b = 1

            Didapat nilai b = 1. Dengan mensubstitusikan b = 1 ke persamaan (2), didapat a + 5(1) = 7 atau a = 2. Ingat kembali bahwa a=\frac{1}{x}atau 2=\frac{1}{x} , sehingga x = ½ . Dan ingat pula bahwa b=\frac{1}{y} atau 1=\frac{1}{y}, sehingga nilai y = 1. Maka, didapat nilai x = ½ dan y = 1. Nilai dari 2x + y = 2(½) + 1 atau 2x + y = 2.

            Jadi, nilai 2x + y = 2.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 6 (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Metode Eliminasi)

            Sistem persamaan:

            2x – y + z = 7 …(1)

            -x – 2y + z = 6 …(2)

            4x – 2y – z = 5 …(3)

            akan terpenuhi oleh nilai x, y, dan z sama dengan….

            Pembahasan Soal Sistem Persamaan:

            Penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel adalah dengan mengeliminasi salah satu variabel sehingga akan diperoleh persamaan baru yang hanya mengandung dua variabel. Untuk lebih mudahnya, pada kasus ini kita akan mengeliminasi variabel z. Jika kita amati persamaan (1) dan (2), koefisien variabel z sudah sama sehingga kita hanya tinggal mengoperasikan kedua persamaan dengan cara mengurangkannya.

            2x – y + z = 7

            -x – 2y + z = 6

            _____________ –

            3x + y = 1 …(4)

            Kemudian, tinjau persamaan (1) dan (3). Koefisien variabel z juga sudah sama hanya saja berlawanan tanda. Oleh karena itu, kita hanya tinggal menjumlahkan ketiga persamaan.

            2x – y + z = 7

            4x – 2y – z = 5

            _____________+

            6x – 3y = 12

            2x – y = 4 …(4)

            Amati persamaan (3) dan (4). Masalah seperti ini sudah kita bahas di contoh sebelumnya, yaitu penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel. Jika kita lihat, koefisien y sudah sama. Sehingga kita hanya tinggal mengoperasikannya.

            3x + y = 1

            2x – y = 4

            _________+

            5x = 5

            x = 1

            Didapat x = 1. Dari persamaan (4) diperoleh 3(1) + y = 1 sehingga y = -2. Kemudian dari persamaan (1) yaitu 2x – y + z = 7 akan diperoleh 2(1) – (-2) + z = 7 sehingga nilai z = 2.

            Jadi, nilai yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = 1 , y = -2, dan z = 2.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 7 (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Soal Cerita)

            Sepasang kakak beradik memiliki jumlah umur 23 tahun. Jika selisih umur mereka 7 tahun, maka umur kakak adalah….

            Pembahasan Soal Sistem Persamaan:

            Misal umur kakak = x dan umur adik = y. Dari data yang diketahui, didapat persamaan seperti berikut.

            x + y = 23

            x – y = 7

            Dengan menjumlahkan kedua persamaan diperoleh 2x = 30 atau x = 15.

            Jadi, umur kaka adalah 15 tahun.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 8 (Sistem Persamaan)

            Jika x + 4z = 4, -x + 4y = 12, dan 2x – y = -3, maka nilai x + y + z = ….

            Pembahasan Soal Sistem Persamaan:

            Agar pengerjaan lebih mudah, kita kerjakan terlebih dahulu persamaan yang memiliki variabel sama. Dalam hal ini adalah persamaan –x + 4y = 12 dan 2x – y = -3. Perhatikan bahwa jika persamaan –x + 4y = 12 dikalikan kedua ruas dengan 2, akan diperoleh -2x + 8y = 24. Dengan cara eliminasi akan diperoleh,

            -2x + 8y = 24

            2x – y = -3

            ____________+

            7y = 21

            y = 3

            Didapat nilai y = 3. Maka ditinjau dari persamaan 2x – y = 3 diperoleh 2x – 3 = -3 atau x = 0. Selanjutnya, dari persamaan x + 4z = 4 akan didapat 0 + 4z = 4 atau z = 1. Sehingga nilai x + y + z = 0 + 3 + 1 atau x + y + z = 4.

            Jadi, x + y + z = 4.

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 9 (Sistem Persamaan)

            Nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan,

            2x + 3y = 17 …(1)

            3y – 5z = -1 …(2)

            4x + z = 18 …(3)

            adalah….

            Pembahasan Soal Sistem Persamaan:

             Untuk memudahkan pengerjaan, kita eliminasi terlebih dahulu salah satu variabel yang ada. Perhatikan persamaan (1) dan (2), jelas bahwa koefisien y sudah sama sehingga kita hanya tinggal mengoperasikannya saja.

             2x + 3y = 17

             3y – 5z = -1

             __________-

           2x + 5z = 18 …(4)

          Dari persamaan (3) dan (4), kita bisa mengeliminasi variabel x dengan cara mengalikan kedua ruas pada persamaan (4) dengan 2, atau 4x + 10z = 36.

           4x + z = 18

           4x + 10z = 36

           ____________-

          -9z = -18

            z = 2

           Didapat z = 2. Dari persamaan (3) maka 4x + 2 = 18 atau x = 4. Selanjutnya dari persamaan (1) maka 2(4) + 3y = 17 atau y = 3. Sehingga didapat nilai x = 4, y = 3, dan z = 2.

           Jadi, nilai yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = 4, y = 3, dan z = 2.

           Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 10 (Sistem Persamaan Linear Kuadrat)

           Penyelesaian dari persamaan y = x2 – 2x dan x – y = -4 adalah….

           Pembahasaan Soal Sistem Persamaan:
Dari x – y = -4, didapat y = x +4. Nilai y = x + 4 akan sama dengan nilai y = x2 – 2x. Oleh karena itu, akan didapat,

           x2 – 2x = x + 4

           x2 – 3x – 4 = 0

           (x – 4)(x + 1) = 0

            x = 4  dan  x = -1

            Untuk x = 4, didapat y = 4 + 4 atau y = 8

            Untuk x = -1, didapat y = -1 + 4 atau y = 3

            Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (4,8) dan (-1,3).

            Soal Sistem Persamaan Dan Pembahasannya 11 (Sistem Persamaan Linear Kuadrat)

            Sistem persamaan x – y = -2 dan xy = 8 memiliki himpunan penyelesaian….

           Pembahahasan Soal Sistem Persamaan:

           Dari x – y = -2, didapat y = x + 2. Dari xy = 8 didapat x(x + 2) = 8.

           x(x + 2) = 8

          x2 + 2x – 8 = 0

          (x + 4)(x – 2) = 0

          x = -4  dan x = 2

          Untuk x = -4 didapat y = -4 + 2 atau y = -2.

          Untuk x = 2 didapat y = 2 + 2 atau y = 4.

        Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (-4,-2) dan (2,4).

Soal – soal sistem persamaan banyak sekali variasinya. Kita perlu latihan untuk mengetahui langkah apa yang seharusnya dilakukan terlebih dahulu, variabel mana yang lebih mudah untuk dieliminasi, dan lainnya.

Kita cukupkan saja artikel kali ini. Di lain kesempatan, kita akan membahas materi lainnya. Mari kita junjung tinggi kuatnya ilmu. Ilmu yang telah mendasari semua hal di dunia ini. Sekian, selamat berlatih !

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *