Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya

Diposting pada

Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya – Salam ! Kali ini Kumpulan Contoh Teks  akan berbagi mengenai Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya. Limit Fungsi adalah nilai fungsi saat x mendekati nilai tertentu. Nilai saat x mendekati nilai tertentu tersebut dikatakan sebagai nilai limit fungsi. Limit Fungsi secara detail akan dibahas pada jenjang perguruan tinggi (kalkulus).

Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya

Untuk mengerjakan soal – soal limit fungsi, ada beberapa cara dan teorema yang digunakan. Berikut adalah ulasan mengenai teorema limit fungsi.

 

       Teorema Limit

Ada beberapa sifat / teorema dalam limit fungsi. Sifat tersebut adalah:

limx→a (f(x) + g(x)) = limx→a f(x) + limx→a g(x)

limx→a (f(x) – g(x)) = limx→a f(x) – limx→a  g(x)

limx→a f(x).g(x) = limx→a f(x) . limx→a g(x)

limx→a f(x) / g(x) = limx→a f(x) / limx→a g(x)

limx→a k.f(x) = k. limx→a f(x)

limx→a f(x)n = (limx→a f(x))n

 

       Limit Aljabar x  a

Cara pengerjaan limit aljabar x mendekati suatu bilangan real a adalah dengan mensubstitusikan nilai a ke dalam fungsi. Apabila hasilnya tentu, maka pengerjaan telah selesai. Tetapi, apabila hasilnya tidak tentu, cara yang digunakan adalah dengan memfaktorkan (jika bentuknya persamaan kuadrat), dan mengalikan dengan sekawan (jika bentuknya akar).

 

       Limit Aljabar x ~ Bentuk Pecahan

Cara pengerjaan limit aljabar x ~ adalah dengan membagi bentuk fungsi dengan pangkat tertingginya. Biasanya, bentuk soal limit aljabar mendekati tak hingga ini berbentuk pecahan, atau lim_{x\rightarrow{a}}\frac{f(x)}{g(x)}.

 

       Limit Aljabar x  ~ Bentuk Akar

Ada bentuk khusus mengenai limit aljabar x ~, yaitu bentuk akar. Bentuk akar yang dimaksud adalah,

lim_{x\rightarrow{\sim }}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}

Cara pengerjaan hampir sama seperti poin nomor 3, yaitu dengan mengalikan fungsi tersebut dengan sekawannya terlebih dahulu, lalu kemudian membagi fungsi dengan pangkat tertingginya. Hanya saja, ada rumus cepat untuk mengerjakan bentuk limit akar tersebut. Rumus tersebut adalah,

lim_{x\rightarrow{\sim }}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r} = \frac{b-q}{2\sqrt{a}}  , untuk a = p

lim_{x\rightarrow{\sim }}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r} = \sim  , untuk a > p

lim_{x\rightarrow{\sim }}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r} = -\sim , untuk a < p

 

Berikut adalah contoh Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya.

 

            Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya 1 (Limit Aljabar)

Hasil dari limx→2 2x3 – x – 7 = …

Pembahasan Soal Limit Fungsi:

Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita hanya tinggal mensubstitusikan x = 2 ke dalam fungsi. Sehingga didapat 2(2)3 – 2 – 7 = 7. Dan hasilnya sudah tentu.

Jadi, hasil dari limx→2 2x3 – x – 7 = 7.

 

            Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya 2 (Limit Aljabar Pemfaktoran)

Nilai dari operasi  lim_{x\rightarrow{2}}\frac{x^2-4}{x-2}sama dengan….

Pembahasan Soal Limit Fungsi:

Pertama, kita coba terlebih dahulu melakukan substitusi nilai x = 2 ke dalam fungsi. Sehingga akan didapat \frac{2^2-4}{2-2}=\frac{0}{0}. Ingat bahwa nilai dari 0/0 adalah tidak tentu. Oleh karena itu, kita perlu memfaktorkan bentuk fungsi tersebut agar hasilnya tentu. Perhatikan bahwa,

\lim_{x\to1}\frac{x^2-4}{x-2}= \lim_{x\to1}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}

Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan (x – 2), didapat limx→2 (x + 2). Sehingga dengan melakukan substitusi nilai x = 2 akan didapat 2 + 2 = 4.

Jadi, nilai dari .\lim_{x\to1}\frac{x^2-4}{x-2}= 4.

 

            Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya 3 (Limit Aljabar Pemfaktoran)

Hasil dari operasi \lim_{x\to1} \frac{x^2+x-2}{x^2-1} adalah….

Pembahasan Soal Limit Fungsi:

Pertama, kita coba terlebih dahulu melakukan substitusi langsung nilai x = 1 kedalam fungsi. Akan didapat  \frac{1^2+1-2}{1^2-1}=\frac{0}{0} . Ingat bahwa nilai dari 0/0 adalah tidak tentu. Oleh karena itu, kita perlu memfaktorkan bentuk fungsi tersebut agar hasilnya tentu. Perhatikan bahwa.

\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+1)}

Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan (x – 1) diperoleh \lim_{x\to1}\frac{(x+2)}{(x+1)} . Dengan melakukan substitusi nilai x = 1 diperoleh \frac{(1+2)}{(1+1)} = \frac{3}{2}.

Jadi, nilai \lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}= \frac{3}{2}.

 

            Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya 4 (Limit Aljabar Bentuk Akar)

Nilai limit dari \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x+7}-3} adalah….

Pembahasan Soal Limit Fungsi:

Pertama, kita coba terlebih dahulu melakukan substitusi langsung nilai x =2 kedalam fungsi. Akan didapat \frac{2^2-4}{\sqrt{2+7}-3}=\frac{0}{0} . Ingat bahwa nilai dari 0/0 adalah tidak tentu. Oleh karena bentuk fungsi tersebut adalah bentuk akar, kita perlu mengalikan dengan sekawannya yaitu . Perhatikan bahwa,

\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x+7}-3}=\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x+7}-3}.\frac{\sqrt{x+7}+3}{\sqrt{x+7}+3}

Dengan mengoperasikannya, akan didapat,

 

\lim_{x\to2}\frac{(x^2-4)(\sqrt{x+7}+3)}{{x+7}-9}

\lim_{x\to2}\frac{(x^2-4)(\sqrt{x+7}+3)}{{x-2}

\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{x+7}+3)}{x-2}

Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan (x – 2), akan didapat

\lim_{x\to2}{(x+2)(\sqrt{x+7}+3)

Kemudian, substitusi dengan nilai x = 2. Akan didapat {(2+2)(\sqrt{2+7}+3)=24 .

Jadi, \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{\sqrt{x+7}-3}=24.

 

            Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya 5 (Limit Aljabar Tak Hingga)

Hasil dari \lim_{x\to\sim }\frac{2x^3+4x^2+6x-1}{2x^2-4x+3} adalah….

Pembahasan Soal Limit Fungsi:

Nilai x yang dituju pada limit tersebut adalah nilai x mendekati ~. Sehingga pengerjaan dari soal tersebut adalah dengan membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertingginya, yaitu x3. Dengan demikian, akan diperoleh bentuk sebagai berikut.

\lim_{x\to\sim }\frac{\frac{2x^3}{x^3}+\frac{4x^2}{x^3}+\frac{6x}{x^3}-\frac{1}{x^3}}{\frac{2x^2}{x^3}-\frac{4x}{x^3}+\frac{3}{x^3}}

\lim_{x\to\sim }\frac{2+\frac{4}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^3}}

Kemudian, substitusi nilai x = ~ ke dalam fungsi yang telah dibagi dengan x3. Akan didapat, \frac{2+\frac{4}{\sim}+\frac{6}{{\sim}^2}-\frac{1}{{\sim}^3}}{\frac{2}{\sim}-\frac{4}{{\sim}^2}+\frac{3}{{\sim}^3}}.

Ingat bahwa nilai dari \frac{k}{\sim}=0 sehingga dari bentuk tersebut didapat \frac{2+0+0-0}{0-0+0}=\sim

Jadi, nilai dari \lim_{x\to\sim }\frac{2x^3+4x^2+6x-1}{2x^2-4x+3}=\sim.

 

            Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya 6 (Limit Aljabar Tak Hingga Bentuk Akar)

Nilai limit dari \lim_{x\to\sim }{\sqrt{4x^2-3x+1}-{\sqrt{4x^2+5x-7}} adalah…

Pembahasan Soal Limit Fungsi:

Perhatikan bahwa bentuk limit tersebut adalah bentuk limit  lim_{x\rightarrow{\sim }}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r} , untuk a = p.

Maka diperoleh hasilnya yaitu \frac{b-q}{2\sqrt{a}} . Dengan demikian, diperoleh \frac{-3-5}{2\sqrt{4}}=-2.

Jadi, nilai limit dari \lim_{x\to\sim }{\sqrt{4x^2-3x+1}-{\sqrt{4x^2+5x-7}}=-2.

 

           Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya 7 (Limit Aljabar Tak Hingga Bentuk Akar)

Hasil dari \lim_{x\to\sim }{\sqrt{x^2-3x+8}-{\sqrt{3x^2+10x+1}} adalah….

Pembahasan Soal Limit Fungsi:

Perhatikan bahwa bentuk limit tersebut adalah bentuk limit lim_{x\rightarrow{\sim }}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}

, untuk a < p. Diperoleh hasilnya, yaitu -~.

Jadi, hasil dari \lim_{x\to\sim }{\sqrt{x^2-3x+8}-{\sqrt{3x^2+10x+1}}=-\sim.

 

Soal – soal mengenai limit fungsi banyak sekali variasinya. Variasi soal tersebut akan mulai kita temui pada level perguruan tinggi. Bentuk – bentuk limit yang tidak terbahas pada artikel kali ini akan kita bahas pada artikel selanjutnya, misalnya Limit Trigonometri, dan Limit L’Hospital.

Kita cukupkan saja artikel kali ini. Di lain kesempatan, kita akan membahas materi lainnya. Mari kita junjung tinggi kuatnya ilmu. Ilmu yang telah mendasari semua hal di dunia ini. Sekian, selamat berlatih ! Sukses selalu !

One thought on “Soal Limit Fungsi Dan Pembahasannya

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *