Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya

Diposting pada

Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya – Hai ! Pada kesempatan kali ini Kumpulan Contoh Teks akan berbagi mengenai materi Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya. Komposisi Fungsi adalah pengkomposisian dua fungsi atau lebih. Materi komposisi fungsi sering diujikan pada Ujian Nasional, Ujian Sekolah, dan bahkan seleksi perguruan tinggi. Komposisi fungsi dapat dibilang sebagai materi yang penting mengingat materi ini sering diujikan. Materi ini akan dibahas pada jenjang SMA kelas XI (ada yang kelas XII).

Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya

Sebelum mengulas lebih mengenai komposisi fungsi, ada baiknya kita mengingat materi fungsi secara umum terlebih dahulu. Mengenai fungsi sebenarnya sudah kita pelajari ketika jenjang SMP. Fungsi adalah hubungan yang memetakan setiap anggota sebuah himpunan dengan himpunan yang lain. Ada istilah relasi, domain, kodomain, korespondensi, dan lainnya. Tapi, untuk materi komposisi fungsi ini tidak banyak menyinggung materi fungsi yang sudah pernah kita pelajari dulu. Materi  ini lebih mengacu pada operasi fungsi, komposisi, dan invers fungsi. Berikut adalah ulasan mengenai materi tersebut.

1. Operasi Fungsi

  1. (f+g)(x)=f(x)+g(x)
  2. (f-g)(x)=f(x)-g(x)
  3. (f.g)(x)=f(x)g(x)
  4. (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

2. Komposisi Fungsi

  1. (fog)(x)=f(g(x))
  2. (fogoh)(x)=f(g(h(x)))

Note : Pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif, atau (f o g)(x) ≠ (g o f)(x).

3. Invers Fungsi

Invers adalah kebalikan dari suatu fungsi. Invers dari fungsi f(x) dinotasikan f-1(x). Secara matematis, jika f(x) = y, maka f-1(y) = x. Hal ini sangat jelas karena invers merupakan kebalikan dari suatu fungsi. Cara menentukan invers dari suatu fungsi f(x) adalah dengan memisalkan f(x) = y. Kemudian nyatakan bentuk x dalam y.

4. Operasi Invers Fungsi

  1.  (fog)^{-1}(x)=(g^{-1} of^{-1})(x)
  2.  (fogoh)^{-1}(x)=(h^{-1} og^{-1}of^{-1})(x)

Berikut adalah contoh – contoh soal mengenai komposisi fungsi.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 1 (Operasi Fungsi)

Diketahui f(x) = 2x – 7 dan g(x) = 3x2 – x – 9. Tentukan (f + g)(x) dan (f – g)(x) !

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Ingat definisi bahwa (f + g)(x) = f(x) + g(x). Dengan demikian, didapat bahwa,

(f + g)(x) = (2x – 7) + (3x2 – x – 9)

(f + g)(x) = 3x2 + x – 16

Jadi, (f + g)(x) = 3x2 + x – 16.

Kemudian, ingat pula definisi bahwa (f – g)(x) = f(x) – g(x). Dengan demikian, didapat bahwa,

(f – g)(x) = (2x – 7) – (3x2 – x – 9)

(f – g)(x) = -3x2 + 3x + 2

Jadi, (f – g)(x) = -3x2 + 3x + 2.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 2 (Operasi Fungsi)

Jika fungsi (\frac{m}{n})(x)=4x-1 dan n(x) = x + 3, maka fungsi m(x) adalah….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Ingat kembali definisi bahwa (\frac{m}{n})(x)=\frac{m(x)}{n(x)} . Dengan demikian, didapat persamaan sebagai berikut.

\frac{m(x)}{x+3}=4x-1

Dengan mengalikan silang, diperoleh,

m(x) = (4x – 1)(x + 3)

m(x) = 4x2 + 12x – x – 3

m(x) = 4x2 + 11x – 3

Jadi, fungsi m(x) = 4x2 + 11x – 3.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 3 (Komposisi Fungsi)

Diberikan fungsi f(x) = x2 + 3x – 7 dan g(x) = 2x – 5. Maka fungsi (f o g)(x) adalah….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Definisi dari komposisi fungsi (f o g)(x) adalah f(g(x)). Dengan demikian, didapat bentuk sebagai berikut.

(f o g)(x) = f(g(x))

(f o g)(x) = (2x – 5)2 + 3(2x – 5) – 7

(f o g)(x) = 4x2 – 20x + 25 + 6x – 15 – 7

(f o g)(x) = 4x2 – 14x + 3

Jadi, komposisi fungsi (f o g)(x) = 4x2 – 14x + 3.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 4 (Komposisi Fungsi)

Diketahui fungsi – fungsi f(x) = x +1 , g(x) = x2 – 5, dan h(x) = 4x – 3. Hasil dari komposisi fungsi (g o h o f)(x) adalah….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Didapat bahwa (g o h o f)(x) = g(h(f(x))). Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi h(f(x)) terlebih dahulu untuk memudahkan pekerjaan.

h(f(x)) = 4(x + 1) – 3

h(f(x)) = 4x + 4 – 3

h(f(x)) = 4x + 1

Didapat h(f(x)) = 4x + 1. Maka, (g o h o f)(x) = g(4x + 1). Bentuk yang lebih simpleks seperti ini akan memudahkan kita untuk mengerjakan bagian selanjutnya.

(g o h o f)(x) = g(4x + 1)

(g o h o f)(x) = (4x + 1)2 – 5

(g o h o f)(x) = 16x2 + 8x + 1 – 5

(g o h o f)(x) = 16x2 + 8x – 4

Jadi, komposisi fungsi (g o h o f)(x) = 16x2 + 8x – 4.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 5 (Komposisi Fungsi)

Diketahui (f o g)(x) = 6x + 9, dan f(x) = 3x – 6. Maka fungsi g(x) adalah….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Ingat definisi bahwa (f o g)(x) = f(g(x)). Dengan demikian, didapat bahwa,

f(g(x)) = 6x + 9

3g(x) – 6 = 6x + 9

3g(x) = 6x + 15

g(x) = 2x + 5

Jadi, fungsi g(x) = 2x + 5.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 6 (Komposisi Fungsi)

Jika u(x) = 3x2 – 7 , dan v(x) = 7x – 4, nilai dari (u o v)(1) + (v o u o v)(0) = …

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Agar lebih mudah mengerjakan bentuk kompleks tersebut, lebih baik kita mencarinya satu persatu terlebih dahulu. Perhatikan bahwa,

(u o v)(1) = u(v(1)) ⇒ v(1) = 7(1) -4, atau v(1) = 3

(u o v)(1) = u(3)

(u o v)(1) = 3(3)2 – 7

(u o v)(1) = 20

Didapat (u o v)(1) = 20. Selanjutnya, tinjau bentuk (v o u o v)(0).

(v o u o v)(0) = v(u(v(0))) ⇒ v(0) = 7(0) – 4 , atau v(0) = -4

(v o u o v)(0) = v(u(-4)) ⇒ u(-4) = 3(-4)2 – 7, atau u(-4)= 41

(v o u o v)(0) = v(41)

(v o u o v)(0) = 7(41) – 4

(v o u o v)(0) = 287 – 4

(v o u o v)(0) = 283

Sehingga, nilai dari (u o v)(1) + (v o u o v)(0) = 20 + 283, atau (u o v)(1) + (v o u o v)(0) = 303.

Jadi, (u o v)(1) + (v o u o v)(0) = 303

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 7 (Invers Fungsi)

Jika f(x) = 4x – 9, maka invers dari fungsi f(x) adalah….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Cara menentukan invers suatu fungsi adalah dengan memisalkan bentuk fungsi tersebut dengan y. Kemudian nyatakan bentuk x dalam y. Perhatikan bahwa,

4x – 9 = y

Kemudian, nyatakan x dalam y.

4x = y + 9

x=\frac{y+9}{4}

Jadi, f^{-1}(x)=\frac{x+9}{4}.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 8 (Invers Fungsi)

Invers dari fungsi f(x)=\frac{3x-2}{x+7} adalah….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Pertama, misalkan bentuk fungsi tersebut dengan y.

\frac{3x-2}{x+7}=y

Dengan mengalikan silang, diperoleh,

y(x + 7) = 3x – 2

xy + 7y = 3x – 2

xy – 3x = -7y – 2

x(y – 3) = -7y – 2

x=\frac{-7y-2}{y-3}

Jadi, f^{-1}(x)=\frac{-7x-2}{x-3}.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 9 (Invers Fungsi)

Invers dari fungsi eksponensial f(x) = 2x – 2 adalah ….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Jangan kaget bila kita menemui bentuk soal seperti ini. Langkahnya sama, kita misalkan bentuk fungsi tersebut dengan y.

2x – 2 = y

Selanjutnya, ingat definisi logaritma. Jika ax = b, maka x = alogb. Dengan demikian, diperoleh bentuk sebagai berikut.

x – 2 = 2logy

x = 2logy + 2

Jadi, f-1(x) = 2logx + 2.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 10 (Komposisi dan Invers)

Jika f(x) = 2x – 5, dan g(x) = 4x + 7, maka komposisi fungsi (f-1 o g)(x) adalah….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Pertama, kita tentukan terlebih dahulu invers dari fungsi f. Misalkan bentuk fungsi f(x) dengan y.

2x – 5 = y

2x = y + 5

x=\frac{y+5}{2}

Didapat f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}.

Selanjutnya, tinjau bentuk (f-1 o g)(x). Dari definisi komposisi fungsi, didapat bahwa,

(f-1 o g)(x) = f-1(g(x))

(f-1 o g)(x) = \frac{(4x+7)+5}{2}

(f-1 o g)(x) =\frac{4x+12}{2}

(f-1 o g)(x) = 2x + 6 (pembilang dan penyebut dibagi 2)

Jadi, (f-1 o g)(x) = 2x + 6.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 11 (Komposisi Fungsi)

Diketahui f(x) = x2  + 3x + 4 dan g(x) = x – 1. Nilai x yang memenuhi (f o g)(x) = 4 adalah….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Pertama, kita tentukan terlebih dahulu komposisi (f o g)(x).

(f o g)(x) = f(g(x))

(f o g)(x) = (x – 1)2  + 3(x – 1) + 4

(f o g)(x) = x2 – 2x + 1 + 3x – 3 + 4

(f o g)(x) = x2 + x + 2

Didapat (f o g)(x) = x2 + x + 2. Selanjutnya, diketahui bahwa (f o g)(x) = 4. Oleh karena itu, kita dapati bahwa,

x2 + x + 2 = 4

x2 + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2  dan x = 1

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan (f o g)(x) = 4 adalah x = -2 dan x = 1.

Contoh Soal Komposisi Fungsi Dan Pembahasannya 12 (Komposisi Fungsi)

Diketahui fungsi f(x) = ax + 5 dan g(x) = 3x – 8. Jika (f o g)(x) = (g o f)(x), maka nilai a sama dengan….

Pembahasan Soal Komposisi Fungsi:

Tinjau bentuk (f o g)(x) = (g o f)(x). Kita peroleh bahwa,

f(g(x)) = g(f(x))

a(3x – 8) + 5 = 3(ax + 5) – 8

3ax – 8a + 5 = 3ax + 15 – 8

-8a + 5 = 7

-8a = 2

a = – ¼

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = – ¼

Pada intinya, rumus yang digunakan dalam materi komposisi dan invers fungsi ini adalah sama. Hanya saja, pengembangan soalnya saja yang berbeda – beda, dan variatif. Bentuk seperti contoh 11 adalah contoh soal sejenis masuk perguruan tinggi. Tapi jika dilihat, rumus yang digunakan ternyata sama. Hanya variasi soalnya saja yang terkadang membingungkan kita. Jadi, materi komposisi fungsi ini sebenarnya mudah.

Kita cukupkan saja artikel kali ini. Di lain kesempatan, kita akan membahas materi lainnya. Mari kita junjung tinggi kuatnya ilmu. Ilmu yang telah mendasari semua hal di dunia ini. Sekian, selamat berlatih !

Gambar Gravatar
Nama : Muhammad Hafidz Agraprana Tempat, Tanggal Lahir : Banjarnegara, 03 Desember 2000 Alamat : Banjarnegara, Jawa Tengah, Indonesia

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *