Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya

Diposting pada

Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya – Hallo ! Kali ini Kumpulan Contoh Teks  akan mengajak kalian belajar mengenai materi Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya. Fungsi Kuadrat adalah materi lanjutan dari materi sebelumnya, yaitu persamaan kuadrat. Hampir sama seperti pada persamaan kuadrat, hanya saja pada materi fungsi kuadrat ini akan membahas secara khusus mengenai grafik fungsi kuadrat pada bidang cartesius.

Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya

 

Apa saja pembahasan mengenai fungsi kuadrat ? Ada beberapa pembahasan, yaitu titik potong, titik puncak, definit, dan lainnya. Persoalan tersebut akan kita kupas bersama – sama pada artikel ini. Berikut adalah ulasan mengenai materi fungsi kuadrat.

 

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Seperti yang kita ketahui, bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0. Namun pada fungsi kuadrat, bentuknya agak sedikit berbeda yaitu y = ax2 + bx + c, atau bisa juga f(x) = ax2 + bx + c. Hal ini dikarenakan suatu fungsi pasti memiliki daerah asal (nilai x) dan daerah hasil (nilai y atau f(x)). Grafik fungsi kuadrat berbentuk kurva parabola yang menghadap ke atas atau ke bawah (tergantung nilai a, yang akan kita bahas pada poin berikutnya). Sedangkan untuk parabola yang menghadap ke kanan atau ke kiri akan dibahas pada materi irisan kerucut

 

Titik Potong Fungsi Kuadrat Dengan Sumbu x Dan Sumbu y

Untuk menentukan titik potong kurva fungsi kuadrat dengan sumbu x dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai y = 0 pada fungsi. Sedangkan untuk menentukan titik potong kurva fungsi kuadrat dengan sumbu y dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = 0. Dengan kita mensubstitusikan nilai tersebut, akan didapat nilai yang merupakan perpotongan dari kurva.

 

Menyusun Fungsi Kuadrat

  • Jika diketahui 3 titik sembarang (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3)

Cara menyusun fungsi kuadrat yang melalui tiga titik sembarang adalah dengan cara mensubstitusikan ketiga titik tersebut satu demi satu pada fungsi y = ax2 + bx + c. Selanjutnya, akan didapat tiga persamaan yaitu y1 = ax12 + bx1 + c, y2 = ax22 + bx2 + c, dan y3 = ax32 + bx3 + c. Untuk mendapatkan nilai a, b, dan c dapat dilakukan dengan cara mengeliminasi ketiga persamaan menggunakan cara sistem persamaan linear tiga variabel.

  • Jika diketahui 2 titik potong sumbu x (x1,0) dan (x2,0), dan 1 titik sembarang (x,y)

Cara menentukan fungsi kuadrat jika diketahui 2 titik potong sumbu x dan 1 titik sembarang adalah dengan mensubstitusikannya pada rumus berikut.

y = a(x – x1)(x – x2)

  • Jika diketahui 1 titik puncak (p,q) dan 1 titik sembarang (x,y)

Cara menentukan fungsi kuadrat jika diketahui 1 titik puncak dan 1 titik sembarang adalah dengan mensubstitusikannya pada rumus berikut.

y = a(x – p)2  + q

 

Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Titik puncak pada fungsi kuadrat adalah titik dimana sebuah fungsi kuadrat mengalami fase belok. Nama lain dari titik puncak adalah titik ekstrem, nilai maksimum / minimum, titik balik, dan lainnya. Titik puncak fungsi kuadrat (p,q) dapat dicari menggunakan rumus berikut

(p,q)=(\frac{-b}{2a},\frac{b^2-4ac}{-4a})

Nilai q inilah yang disebut nilai maksimum / nilai minimum dari fungsi kuadrat tergantung nilai a (akan kita bahas pada poin selanjutnya).

 

Sifat Parabola

Ada beberapa sifat parabola y = ax2 + bx + c ditinjau dari nilai a, b, dan c, dan diskriminannya. (Note: D = b2 – 4ac)

  • Jika nilai a > 0 , maka kurva menghadap ke atas. Dan jika a < 0, maka kurva menghadap ke bawah.
  • Jika c > 0, maka titik potong kurva dengan sumbu y berada pada daerah sumbu y positif. Dan jika c < 0, maka titik potong kurva dengan sumbu y berada pada daerah sumbu y negatif.
  • Jika D < 0, maka kurva tidak memotong sumbu x. Jika D = 0, maka kurva memotong sumbu x tepat di satu titik (menyinggung). Dan jika D > 0, maka kurva memotong sumbu x di dua titik.

 

Definit Fungsi Kuadrat

  • Suatu fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dikatakan definit positif (nilai y selalu positif untuk x bilangan real) jika : a > 0, dan D < 0
  • Suatu fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dikatakan definit negatif (nilai y selalu negatif untuk x bilangan real) jika : a < 0, dan D < 0

 

Agar kita makin memahami penggunaan rumus – rumus diatas, simak baik – baik mengenai Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya berikut.

 

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya 1 (Titik Potong Dengan Sumbu y)

Titik potong fungsi kuadrat f(x) = 2x2 + 3x – 6 dengan sumbu y adalah….

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Untuk menentukan titik potong kurva dengan sumbu y dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = 0. Dalam hal ini didapat,

f(x) = 2x2 + 3x – 6

f(0) = 2(0)2 + 3(0) – 6

f(0) = -6

Jadi, titik potong kurva f(x) = 2x2 + 3x – 6 dengan sumbu y adalah (0,-6).

 

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya 2 (Titik Potong Dengan Sumbu x)

Koordinat perpotongan kurva y = x2 – 5x + 6 dengan sumbu x adalah…

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Perpotongan kurva dengan sumbu x dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0. Oleh karena itu, kita dapati bahwa,

0 = x2 – 5x + 6

(x – 2)( x – 3) = 0

x = 2 dan x = 3

Jadi, titik potong kurva y = x2 – x – 6 dengan sumbu x adalah (2,0) dan (3,0).

 

 Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya 3 (Menyusun Fungsi Kuadrat)

Fungsi kuadrat yang melalui titik (-1,0), (-3,0), dan (1,8) adalah….

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Tinjau ketiga titik tersebut. Jelas bahwa (-1,0) dan (-3,0) adalah dua titik potong sumbu x (karena nilai y = 0), dan (1,8) adalah satu titik sembarang. Oleh karena itu, rumus yang digunakan adalah y = a(x – x1)(x – x2). Dengan begitu, kita dapati bentuk sebagai berikut.

y = a(x – x1)(x – x2)

8 = a(1 – (-3))(1 – (-1))

8 = a(4)(2)

8 = 8a

a = 1

Diperoleh nilai a = 1. Maka, fungsi kuadrat tersebut adalah,

y = 1(x – (-3))(x – (-1))

y = (x + 3)(x + 1)

y = x2 + 4x + 3

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = x2 + 4x + 3.

 

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya  4 (Menyusun Fungsi Kuadrat)

Jika f adalah suatu fungsi kuadrat yang melalui (-1,0), (2,0), dan (0,2), maka nilai f(7) adalah…. (SNMPTN’12 MatDas 122/4)

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Jelas bahwa (-1,0) dan (2,0) adalah dua titik potong sumbu x karena nilai y = 0. Dan (0,2) adalah satu titik sembarang. Dengan cara yang sama seperti contoh 3, akan diperoleh,

y = a(x – x1)(x – x2)

2 = a(0 + 1)(0 – 2)

2 = -2a

a = -1

Didapat nilai a = -1. Maka, fungsi kuadrat tersebut adalah,

y = -(x + 1)(x – 2)

y = -(x2 – x – 2)

y = -x2 + x + 2

Sehingga, fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = -x2 + x + 2. Akibatnya nilai dari f(7) = -(7)2 + 7 + 2 atau f(7) = -40.

Jadi, f(7) = -40.

 

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya 5 (Menyusun Fungsi Kuadrat)

Persamaan kurva fungsi kuadrat yang melalui titik (0,7), (1,7), dan (2,9) adalah….

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Ketiga titik tersebut adalah titik sembarang. Karena tidak ada titik yang menunjukkan nilai koordinat y = 0. Oleh karena itu, rumus yang digunakan adalah y = ax2 + bx + c.

Dari titik (0,7) didapat persamaan 7 = a(0)2 + b(0) + c. Atau c = 7 … (1)

Dari titik (1,7) didapat persamaan 7 = a(1)2 + b(1) + c. Atau a + b + c = 7. Mengingat c = 7, maka a + b + 7 = 7, sehingga a + b = 0 … (2)

Dari titik (2,9), didapat persamaan 9 = a(2)2 + b(2) + c. Atau 4a + 2b + c = 9. Mengingat c = 7, maka 4a + 2b + 7 = 9, sehingga 2a + b = 1 … (3)

Dari persamaan (2), didapat a = -b. Dengan mensubstitusikan a = -b ke persamaan (3), akan didapat bentuk sebagai berikut,

2(-b) + b = 1

-2b + b = 1

-b = 1

b = 1

Karena b = -1, maka a =1 mengingat a = -b. Didapat a = 1, b = -1, dan c = 7.

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = x2 – x + 7.

 

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya  6 (Menyusun Fungsi Kuadrat)

Suatu kurva fungsi kuadrat memiliki titik puncak (-4, -25) dan melalui titik (2, 11). Persamaan kurva tersebut adalah….

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Tinjau kedua titik tersebut. Titik (-4,-25) merupakan titik puncak dan (2,11) merupakan satu titik sembarang. Oleh karena itu, rumus yang digunakan adalah y = a(x – p)2  + q. Maka, kita dapati bahwa,

y = a(x – p)2  + q

11 = a(2 – (-4))2  – 25

11 = a(36) – 25

36 = 36a

a = 1

Didapat nilai a = 1. Maka, fungsi kuadrat tersebut adalah,

y = 1(x – (-4))2  – 25

y = (x + 4)2  – 25

y = x2 + 8x + 16 – 25

y = x2 + 8x – 9

Jadi, kurva fungsi kuadrat tersebut adalah y = x2 + 8x – 9.

 

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya 7 (Titik Puncak Fungsi Kuadrat)

Koordinat titik puncak fungsi kuadrat f(x) = 2x2 + 12x + 3 adalah….

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Titik puncak (p,q) dapat ditentukan dengan rumus (p,q)=(\frac{-b}{2a},\frac{b^2-4ac}{-4a}) . Dengan meninjau fungsi, didapat a = 2, b = 12, dan c = 3. Dalam hal ini, akan kita dapati,

p=\frac{-12}{2(2)}     atau p = -3

q=\frac{12^2-4(2)(3)}{-4(2)}    atau q = -15

Jadi, titik puncak kurva tersebut adalah (-3,-15).

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya 8 (Kedudukan Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu x)

Tentukan arah hadap kurva fungsi kuadrat y = x2 – 4x + 6, dan kedudukannya terhadap sumbu x !

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Dari fungsi tersebut didapat nilai  a = 1, b = -4, dan c = 6. Arah hadap fungsi tersebut adalah menghadap ke atas karena nilai a > 0. Dan kedudukannya terhadap sumbu x adalah tidak memotong ataupun menyinggung karena nilai D = (-4)2 – 4(1)(6) atau D = -8. Jika nilai D < 0, maka kurva tersebut tidak memotong ataupun menyinggung sumbu x.

 

Contoh Soal Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya 9 (Definit Fungsi Kuadrat)

Nilai p agar fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2px + 4 definit positif adalah….

Pembahasan Soal Fungsi Kuadrat:

Jelas bahwa nilai fungsi tersebut sudah memenuhi syarat a > 0 karena a = 1. Syarat kedua agar suatu fungsi kuadrat definit positif adalah D < 0. Oleh karena itu, kita dapati,

D < 0

(2p)2 – 4(1)(4) < 0

4p2 – 16 < 0

p2 – 4 < 0

(p – 2)(p + 2) < 0

Dengan meninjau garis bilangan, didapat -2 < p < 2.

Jadi, nilai p agar fungsi kuadrat tersebut definit positif adalah -2 < p < 2.

 

Rumus – rumus fungsi kuadrat memang banyak pengaplikasiannya. Pada soal – soal tertentu seperti soal masuk perguruan tinggi, rumus tersebut sangat digunakan. Hanya saja pada awalnya kita dituntut untuk berpikir tajam.

Kita cukupkan saja artikel kali ini. Di lain kesempatan, kita akan membahas materi lainnya. Mari kita junjung tinggi kuatnya ilmu. Ilmu yang telah mendasari semua hal di dunia ini. Sekian, selamat berlatih !

 

Gambar Gravatar
Nama : Muhammad Hafidz Agraprana Tempat, Tanggal Lahir : Banjarnegara, 03 Desember 2000 Alamat : Banjarnegara, Jawa Tengah, Indonesia

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *