Contoh Soal Persamaan Lingkaran Dan Pembahasannya

Diposting pada

Contoh Soal Persamaan Lingkaran Dan Pembahasannya – Hallo, pada kesempatan kali ini Kumpulan Contoh Teks akan membahas tentang Contoh Soal Persamaan Lingkaran Dan Pembahasannya, Persamaan lingkaran merupakan materi matematika yang dibahas pada kelas XI MIPA (untuk jurusan IPS akan dibahas di kelas XII). Untuk materi lingkaran sebenarnya sudah dibahas ketika SMP. Mengenai luas lingkaran, keliling, busur, tali busur, apotema, dan lainnya. Untuk pembahasan di SMA mengenai lingkaran akan dibahas tentang persamaan lingkaran, titik potong, garis singgung, dan lainnya. Materi berikut juga sering diujikan pada ujian masuk perguruan tinggi. Rumus yang digunakan cukup banyak, namun tidak terlepas dari pemahaman konsep. Berikut ulasan rumus – rumus mengenai persamaan lingkaran.Contoh Soal Persamaan Lingkaran Dan Pembahasannya

Persamaan Lingkaran :

  • Berpusat pada (0,0) dengan jari – jari r. Persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = r2
  • Berpusat pada titik (a,b) dengan jari – jari r. Persamaan lingkarannya adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Pusat dan Jari – Jari Lingkaran :

  • x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah, Pusat –> ( \frac{-A}{{2}} , \frac{-B}{{2}})
  • Jari – jari –>  r=\sqrt{\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C}}

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran :

Cara menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran adalah dengan mensubstitusikan titik tersebut ke persamaan  lingkaran.

  • Jika hasilnya < 0, maka titik tersebut berada di dalam lingkaran.
  • Jika hasilnya = 0, maka titik tersebut terletak pada lingkaran.
  • Jika hasilnya > 0, maka titik tersebut berada di luar lingkaran.

Garis Singgung Lingkaran

  • Jika diketahui titik singgung (x1, y1) dan pusat lingkaran pada (0,0), Maka garis singgung lingkarannya adalah –> x1x + y1y = r2
  • Jika diketahui titik singgung (x1, y1) dan pusat lingkaran pada (a,b), Maka Garis singgung lingkarannya adalah –> (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

Kedua Rumus Garis Singgung Lingkaran diatas berlaku untuk titik (x1, y1) yang terletak pada lingkaran. Jika titik berada di luar lingkaran, maka harus dibuat persamaan garis kutub terlebih dahulu. Namun akan dibahas di lain kesempatan karena sangat jarang soal  dengan tipe demikian.

  • Jika diketahui jari – jari lingkaran r, gradien m, dan pusat lingkaran pada (0,0), Maka Garis singgung lingkarannya adalah  y=mx\pm r\sqrt{m^2 +1}
  • Jika diketahui jari – jari lingkaran r, gradien m, dan pusat lingkaran pada (a,b), Maka Garis singgung lingkarannya adalah y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2 +1}

Rumus – rumus contoh soal persamaan lingkaran tersebut sangat mudah untuk dihafalkan karena memiliki pola. Disamping hafal rumus, ingat bahwa konsep merupakan hal yang penting, Agar lebih memahami persoalan mengenai contoh soal persamaan lingkaran dan pembahasannya, simak baik – baik contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya 1 :

Persamaan lingkaran yang memiliki pusat (0,0) serta berjari – jari 4 adalah….

Pembahasan soal persamaan lingkaran diatas :

Ingat bahwa persamaan lingkaran yang  berpusat (0,0) dengan jari – jari r adalah x2 + y2 = r2, Sangat jelas sekali kita dapati bahwa dari persamaan lingkaran tersebut yaitu :

x2 + y2 = 42 dan  x2 + y2 = 16

Jadi, Jawaban dari soal persamaan lingkaran tersebut adalah x2 + y2 = 16

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya 2 :

Lingkaran dengan pusat (1,3) dan berjari – jari 5 memiliki persamaan….

Pembahasan soal persamaan lingkaran diatas :

Ingat, hampir sama seperti rumus persamaan lingkaran di contoh 1 bahwa persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (a,b) dengan jari – jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Oleh karena itu, kita dapati,

(x – 1)2 + (y – 3)2 = 52

x2 – 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 25

x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0

Jadi, jawaban dari soal persamaan lingkaran tersebut adalah x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0.

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya 3:

Sebuah lingkaran yang berpusat pada (0,0) melalui titik (-3,2). Persamaan lingkaran tersebut adalah….

Pembahasan soal persamaan lingkaran diatas :

Pertama, kita tentukan dulu persamaan lingkaran yang dimaksud secara umum.

x2 + y2 = r2

Diketahui lingkaran tersebut melalui titik (-3,2). Maka,

(-3)2 + 22 = r2

9 + 4 = r2

r2 = 13

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah x2 + y2 = 13

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya 4:

Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran x2 + y2 + 4x – 8y – 5 = 0 !

Pembahasan soal persamaan lingkaran diatas :

Ingat rumus persamaan lingkaran nomor 2, bahwa titik pusatnya adalah ( \frac{-A}{{2}} , \frac{-B}{{2}}). Oleh karena itu, kita dapati,

P(-4/2 , -(-8)/2) sehingga titik pusatnya adalah P(-2,4)

Sedangkan jari – jarinya adalah  r=\sqrt{\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C}}.  Kita dapati,

r=\sqrt{\frac{4^2}{4}+\frac{-(-8)^2}4+5}}   sehingga didapat r = 5

Jadi, pusat lingkaran tersebut pada P(-2,4)  dan jari – jarinya adalah 5.

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya (Kedudukan titik) 5:

Kedudukan titik (3,4) terhadap lingkaran x2 + y2 – 3x – 6y – 1 = 0 adalah….

Pembahasan soal persamaan lingkaran (kedudukan titik) :

Cara menentukan kedudukan titik tershadap lingkaran adalah dengan mensubstitusikan titik tersebut pada lingkaran. Oleh karena itu kita dapati,

x2 + y2 – 3x – 6y – 1

= 32 + (4)2 – 3(3) – 6(4) – 1

=9 + 16 – 9 – 24 – 1

=-9

Didapat bahwa -9 < 0. Jadi, titik (3,4) berada di dalam lingkaran x2 + y2 – 3x – 6y – 1.

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya (Titik Potong Lingkaran dengan Garis) 6 :

Titik potong lingkaran x2 + y2 = 5 dengan garis y = x + 1 adalah….

Pembahasan soal persamaan lingkaran diatas (Titik Potong Lingkaran dengan Garis) :

Untuk mencari titik potong, kita cukup mensubstitusikan nilai x atau y yang ada.

Perhatikan bahwa,

y = x + 1  … dan … x2 + y2 = 5

x2 + (x+1)2 = 5

x2 + x2 + 2x + 1 = 5

2x2 + 2x – 4 = 0

x2 + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2  dan  x = 1

Untuk x = -2, maka nilai y = -2 + 1 , atau y = -1. Sehingga titik potongnya (-2,-1)

Untuk x = 1, maka nilai y = 1 + 1 , atau y = 2. Sehingga titik potongnya (1,2)

Jadi, titik potongnya adalah (-2,1) dan (1,2).

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya (Titik Potong Lingkaran dengan Garis) 7 :

Tentukan perpotongan lingkaran (x – 1)2 + (y + 3)2 = 13 dengan garis x – y = 3 !

Pembahasan soal persamaan lingkaran (titik potong lingkaran dengan garis) :

Caranya sama seperti contoh soal persamaan lingkaran 6. Kita hanya cukup mensubstitusikan nilai x atau y yang ada. Perhatikan bahwa,

x – y = 3, maka y = x – 3

Substitusikan y = x – 3 pada lingkaran.

(x – 1)2 + (x – 3 + 3)2 = 13

(x – 1)2 + x2 = 13

x2 – 2x + 1 + x2 = 13

2x2 – 2x – 12 = 0

x2 – x – 6 = 0

(x – 3)(x + 2) = 0

x = 3   dan x = -2

Untuk x = 3, maka y = 3 – 3 atau y = 0. Didapat titik potongnya (3,0)

Untuk x = -2, maka t = -2 – 3 atau y = -5. Didapat titik potongnya (-2,-5)

Jadi titik potongnya adalah (3,0) dan (-2,-5).

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya (Garis Singgung Lingkaran dengan Titik) 8 :

Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1,-3) adalah….

Pembahasan soal persamaan lingkaran (Garis Singgung Lingkaran dengan Titik) :

Pertama – tama kita periksa apakah titik (1,-3) berada pada lingkaran ataukah tidak. Karena jika ternyata titik tersebut berada di luar lingkaran, kita perlu membuat persamaan garis kutub terlebih dahulu.

Perhatikan bahwa,

x2 + y2 = 10

12 + (-3)2 = 10

10 = 10

Didapat bahwa titik tersebut terletak pada lingkaran. Oleh karena itu berlaku rumus persamaan garis singgung,

x1x + y1y = r2

(1)x – 3y = 10

x – 3y = 10

Jadi persamaan garis singgungnya adalah x – 3y = 10

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya (Garis Singgung Lingkaran dengan Titik) 9 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y + 1)2 = 5 pada titik (5,1) !

Pembahasan:

Terlebih dahulu periksa apakah titik (5,1) terletak pada lingkaran ataukah tidak.

(x – 4)2 + (y + 1)2 = 5

(5 – 4)2 + (1 + 1)2 = 5

12 + 22 = 5

1 + 4 = 5

5 = 5

Didapat bahwa titik tersebut terletak pada lingkaran. Oleh karena itu berlaku rumus persamaan garis singgung,

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

(5 – 4)(x – 4) + (1+ 1)(y + 1) = 52

x – 4 + 2(y + 1) = 25

x – 4 + 2y + 2 = 25

x + 2y = 27

Jadi persamaan garis singgungnya adalah x + 2y = 27

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dan Pembahasannya (Garis Singgung Lingkaran dengan Jari – Jari dan Gradien) 10 :

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 yang memeiliki gradien 2 adalah….

Pembahasan:

Didapat bahwa lingkaran tersebut memiliki jari – jari sama dengan 3.

Oleh karena itu,

y=mx\pm r\sqrt{m^2 +1}

y=2x\pm3\sqrt{2^2+1}

y=2x\pm3\sqrt{5}

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y=2x+3\sqrt{5} dan y=2x-3\sqrt{5}.

Contoh soal persamaan lingkaran dan pembahasannya diatas hanyalah contoh bagaimana cara mengaplikasikan rumus – rumus dari persamaan lingkaran. Sebenarnya ada banyak lagi bentuk soal lainnya yang dimodifikasi sedemikian rupa dan bahkan berkaitan dengan materi lainnya. Seperti yang sudah disinggung, pemahaman konseplah yang terpenting.

Kita cukupkan saja artikel kali ini tetang Persamaan Lingkaran. Di lain kesempatan, kita akan membahas materi lainnya. Mari kita junjung tinggi kuatnya ilmu. Ilmu yang telah mendasari semua hal di dunia ini. Sekian, terimakasih telah berkunjung dan selamat berlatih ! :D.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *