Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya

Diposting pada

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya – Hello ! Setelah sebelumnya kami membahas artikel tentang Contoh Soal Persamaan Kuadrat SMA dan Pembahasannya Kali ini Kumpulan Contoh Teks akan belajar bersama mengenai materi matematika SMA/SMK, yaitu Persamaan Kuadrat. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua. Persamaan kuadrat merupakan materi yang selalu ada pada ujian – ujian tertentu. Misalnya Ujian Nasional, Ujian Sekolah, bahkan Seleksi Masuk Perguruan Tinggi. Dimulai dari mencari akar, hingga menyusun persamaan kuadrat. Tidak banyak rumus yang digunakan, namun lebih  mengolah data yang ada.

Materi persamaan kuadrat sebenarnya sudah disinggung sedikit ketika SMP. Yaitu cara memfaktorkan persamaan kuadrat dan mencari akar – akarnya. Namun, persamaan kuadrat pada materi SMA/SMK akan dikupas lebih dalam lagi. Bukan hanya pemfaktoran, ada juga yang lainnya seperti operasi akar, diskriminan, menyusun persamaan kuadrat baru, dan lainnya.

Berikut adalah sedikit ulasan mengenai materi persamaan kuadrat.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus kuadratik (abc). Adapun rumus kuadratik tersebut adalah \frac{-b\pm\sqrt{ b^2-4ac}}{2a}.

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Nilai Diskriminan (D) ditentukan dengan rumus D = b2 – 4ac. Nilai dari diskriminan menentukan jenis akar dari persamaan kuadrat.

  • Jika D<0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar imajiner (tidak nyata).
  • Jika D=0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar.
  • Jika D>0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar berbeda dan nyata.
  • Jika D adalah bilangan kuadrat sempurna, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar yang rasional.
  • Jika D bukan bilangan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar yang tidak rasional.

Note: Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p/q  dengan p dan q bilangan bulat positif. Sebagai contoh 2,5 adalah bilangan rasional karena dapat dinyatakan sebagai 5/2 . Dan √3 bukan bilangan rasional sebab √3=1,372. Bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q.

Operasi Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki akar x1 dan x2 Ada tiga macam operasi akar.

  • x1 + x2\frac{-b}{a}
  • x1x2\frac{c}{a}
  • x1 – x2 =\frac{\pm\sqrt{D}}{a}
  • Persamaan kuadrat yang memiliki akar x1 dan x2 adalah (x – x1)(x –  x2) = 0 atau dapat dinyatakan dalam bentuk x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.

Agar kita lebih memahami mengenai persamaan kuadrat, simak baik – baik contoh – contoh berikut ini.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya (Pemfaktoran) 1 :

Akar – akar dari persamaan kuadrat x2 + 3x – 28 = 0 adalah…

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Bentuk seperti ini sangatlah mudah karena kita sudah mempelajarinya di SMP. Kita hanya tinggal mencari bilangan yang jika dikalikan hasilnya -28, tetapi jika dijumlahkan hasilnya 3. Bilangan tersebut adalah -4 dan 7.

x2 + 3x – 28 = 0

(x – 4)(x + 7) = 0

x = 4  dan  x = -7

Jadi akar – akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah x={-7,4}.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya (Akar Persamaan Kuadrat) 2 :

Jika -4 merupakan salah satu akar persamaan x2 + (p + 2)x + 2p – 2 = 0, maka akar yang lain adalah….

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Diketahui bahwa -4 merupakan akar dari persamaan tersebut. Substitusikan x = -4 untuk mendapatkan nilai p.

(-4)2 + (p + 2)(-4) + 2p – 2 = 0

16 – 4p – 8 + 2p – 2 = 0

-2p + 6 = 0

p = 3

Didapat p = 3. Akibatnya, persamaan kuadrat tersebut adalah x2 + (3 + 2)x + 2(3) – 2 = 0 atau x2 + 5x + 4 = 0. Dengan cara pemfaktoran didapat (x + 4)(x + 1) = 0. Sehingga didapat  x=-4 dan x=-1.

Jadi, akar yang lain adalah x=-1.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya (Jenis Akar dan Diskriminan) 3 :

Jenis akar dari persamaan kuadrat x2 + 3x + 5 = 0 adalah….

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Hal yang menentukan jenis dari akar persamaan kuadrat adalah nilai diskriminan. Maka, kita tentukan terlebih dahulu nilai diskriminannya. Yaitu D=b2-4ac, atau D=32-4(1)(5), sehingga D=-11. Didapat D<0. Berdasarkan sifat diskriminan, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar yang imajiner.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya (Jenis Akar dan Diskriminan) 4 :

Nilai p agar persamaan kuadrat px2 – 6x + 2p + 7 =0 memiliki akar kembar adalah…

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Syarat agar suatu persamaan kuadrat memiliki akar yang kembar adalah D=0. Maka,

b2 – 4ac = 0

(-6)2 – 4(p)(2p + 7) = 0

– 8p2 – 28p + 36 = 0

2p2 + 7p – 9 = 0

(p – 1)(2p + 9) = 0

Didapat p=1 dan p=-9/2.

Jadi, nilai p =1 dan p = -9/2.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya  (Akar Persamaan Kuadrat) 5 :

Solusi untuk persamaan 1+\frac{2}{x}-\frac{8}{x^2}=0 adalah….

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Untuk model soal seperti ini, kita bisa menyamakan penyebutnya agar pembilang dapat dijumlahkan. Namun dengan mengalikan kedua ruas dengan x2, bentuk tersebut akan langsung dapat difaktorkan. Tidak serumit menyamakan penyebut.

1+\frac{2}{x}-\frac{8}{x^2}=0 (kalikan kedua ruas dengan x^2)

Dengan demikian, akan diperoleh,

x2 + 2x – 8 = 0

(x + 4)(x – 2) = 0

Didapat x=-4 dan x=2.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya (Akar Persamaan Kuadrat) 6 :

Nilai x yang memenuhi persamaan 2x-3\sqrt{x}=2 adalah…

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Perhatikan bentuk diatas. Persamaan tersebut bukan persamaan kuadrat. Maka, kita harus mengubah bentuk tersebut agar dapat menjadi persamaan kuadrat.

Perhatikan bahwa,

2x-2=3\sqrt{x}

Dengan menguadratkan kedua ruas, diperoleh,

4x2 – 8x + 4 = 9x

4x2 – 17x + 4 = 0

(x – 4)(4x – 1) = 0

Didapat x=1/4 dan x=4

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya  (Operasi Akar Persamaan Kuadrat) 7 :

Persamaan kuadrat 2x2 – x – 7 = 0 memiliki nilai jumlah akar yaitu p dan hasil kali akar yaitu q. Nilai pq=…

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Kita tentukan terlebih dahulu nilai p dan q.

p adalah jumlah akar dari persamaan kuadrat tersebut. Maka p = -b/a = -(-1)/2 sehingga nilai p=1/2.

q adalah hasil kali akar dari persamaan kuadrat tersebut. Maka q = c/a = -7/2 sehingga nilai  q=-7/4

Akibatnya pq=\frac{1}{2}.\frac{-7}{2}=\frac{-7}{4}

Jadi, nilai pq = -7/4.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya (Operasi Akar Persamaan Kuadrat) 8 :

Persamaan kuadrat x2 + 2x – 7 = 0 memiliki akar m dan n. Nilai m2 + n2=

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Dari persamaan kuadrat tersebut, kita tentukan dulu hasil jumlah akar dan hasil kalinya.

m + n = -2  dan mn = -7

Tidak ada rumus yang menyatakan hasil dari bentuk m2 + n2. Oleh karena itu, kita coba olah bentuk persamaan  m+n dan mn agar menghasilkan bentuk m2 + n2.

Perhatikan bahwa jika persamaan m + n = -2 kita kuadratkan kedua ruas, maka akan diperoleh,

(m + n)2 = (-2)2

  m2 + 2mn + n2 = 4

m2 + 2(-7) + n2 = 4

m2 + n2  = 18

Jadi, m2 + n2=18.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya (Operasi Akar Persamaan Kuadrat) 9 :

Diketahui persamaan kuadrat x2 – x + 5 = 0 memiliki akar p dan q. Nilai (p+3)(q+3)=…

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Seperti biasa, kita tentukan terlebih dahulu hasil jumlah dan kali akarnya.

p + q = 1  dan pq = 5

Kemudian, kita jabarkan bentuk (p+3)(q+3) dan dijabarkan suku – sukunya.

pq + 3p + 3q + 9

= pq + 3(p + q) +9

= 5 + 3(1) + 9

= 17

Jadi, (p+3)(q+3)=17

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya  (Operasi Akar Persamaan Kuadrat) 10 :

Jika p + 1 dan p – 1 adalah akar dari persamaan x2 – 4x + k = 0, nilai k = …

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Kita tentukan nilai jumlah kedua akarnya terlebih dahulu.

x1 + x2 = -b/a

(p + 1) + (p – 1) = 4

2p = 4

p = 2

Akibatnya, akar – akar dari persamaan tersebut adalah 2+1 dan 2-1 atau 3 dan 1.

Hasil kali akar dari persamaan tersebut adalah,

x1x2 = c/a

3 . 1 = k

k = 3

Jadi, k = 3

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya  (Operasi Akar Persamaan Kuadrat) 11 :

Persamaan kuadrat  x2 – (k – 2)x – 6 = 0 memiliki akar p dan q. Jika berlaku p2+2pq+q2=16, maka nilai k yang memenuhi adalah….

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Perhatikan bahwa bentuk p2+2pq+q2=16 dapat diubah menjadi bentuk berikut,

(p + q)2 = 16

Diketahui p+q adalah jumlah dari akar persamaan kuadrat tersebut. Sehingga, p + q = k – 2.

(k – 2)2 = 16

k2 – 4k + 4 = 16

k2 – 4k – 12 = 0

(k – 6)(k + 2) = 0

Jadi, k=6 dan k=-2.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya  (Menyusun Persamaan Kuadrat) 12 :

Persamaan kuadrat yang akar – akarnya 3 dan -8 adalah….

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Persamaan kuadrat yang memiliki akar x1 dan x2 adalah (x –  x1)(x –  x2) = 0

(x – 3)(x + 8) = 0

x2 + 5x – 24 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang akar – akarnya 3 dan -8 adalah x2 + 5x – 24 = 0

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya (Menyusun Persamaan Kuadrat) 13 :

Akar – akar persamaan x2 – 3x + 7 = 0 adalah p dan q. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya 2p dan 2q adalah….

Pembahasan Soal Persamaan Kuadrat:

Kita tentukan terlebih dahulu jumlah dan kali akar dari persamaan kuadrat yang diketahui.

p + q = 3  dan pq = 7

Kemudian, kita tentukan jumlah dan kali akar dari persamaan kuadrat yang ditanyakan.

2p + 2q = 2(p + q) = 2(7) = 14

2p . 2q = 4pq = 4(7) = 28

Persamaan kuadrat tersebut adalah :

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

x2 – (2p + 2q)x + 2p.2q = 0

x2 – 14x + 28 = 0

Jadi persamaan kuadrat yang akar – akarnya 2p dan 2q adalah x2 – 14x + 28 = 0.

Ada banyak sekali bentuk – bentuk soal persamaan kuadrat. Karena materi persamaan kuadrat ini lebih mengarah ke pengolahan rumus aljabar. Karakteristik soal persamaan kuadrat yang tidak biasa akan kita bahas pada pembahasan selanjutnya yaitu pada pembahasan soal – soal masuk perguruan tinggi, bahkan olimpiade.

Mari kita junjung kuatnya ilmu di dunia ini seiring perkembangan zaman. Karena, ilmu-lah yang mendasari semua hal di dunia ini. Sekian, selamat berlatih, sukses selalu ! 😀 🙂

Gambar Gravatar
Nama : Muhammad Hafidz Agraprana Tempat, Tanggal Lahir : Banjarnegara, 03 Desember 2000 Alamat : Banjarnegara, Jawa Tengah, Indonesia

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *