Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya

Diposting pada

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya – Hallo ! Kali ini Kumpulan Contoh Teks akan berbagi materi matematika mengenai Contoh Soal Persaman Eksponensial Dan Pembahasannya. Persamaan eksponensial adalah materi pengembangan setelah kita menguasai sifat – sifat eksponensial. Jika kita telah benar – benar mampu menguasai sifat tersebut, maka akan sangat mudah untuk kita mengerjakan soal – soal persamaan eksponensial. Karena pengerjaan dari soal – soal persamaan eksponensial tidak terlepas dari penggunaan sifat eksponen.

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya

Selain sifat, ada bentuk – bentuk khusus mengenai persamaan eksponensial. Setiap bentuk persamaan memiliki penyelesaian yang berbeda. Berikut adalah bentuk – bentuk dari persamaan eksponensial.

Bentuk Persamaan Eksponensial

  1. a^{f(x)}=a^{g(x)}, penyelesaiannya f(x) = g(x)
  2. a^{f(x)}=1, penyelesaiannya f(x) = 0
  3. a^{f(x)}=b^{f(x)}, penyelesaiannya f(x) = 0
  4. f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}, penyelesaiannya: f(x) = g(x) , dan h(x) = 0 asalkan f(x) dan g(x) tidak nol
  5. A(a^{f(x)})^2+B(a^{f(x)})+C=0 dapat diselesaikan dengan cara memisalkan a^{f(x)}=y sehingga diperoleh persamaan Ay^2+By+C=0.  Bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran atau rumus kuadratik (abc), yaitu \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Setelah kita mendapatkan nilai y, jangan lupa untuk mengembalikan ke bentuk asal bahwa a^{f(x)}=y.

Agar kita lebih mudah memahami persoalan persamaan eksponensial, perhatikan contoh – contoh berikut.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 1

Persamaan eksponensial 2^x\sqrt{4^{2x}}=32  terpenuhi untuk nilai x sama dengan…

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Dengan mengingat sifat – sifat eksponensial, kita ubah terlebih dahulu bentuk yang berada dalam akar.

2x . 42x/2 = 32

2x . 4x = 32

8x = 32

23x = 25

  3x = 5  (ingat bentuk persamaan eksponensial 1)

x = 5/3

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x = 5/3.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 2

Penyelesaian dari persamaan 5^{x^2-x}=1 adalah…

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Ingat bentuk persamaan ii. Persamaan tersebut dapat diselesaikan sebagai bentuk f(x)=0.

x2 – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 dan x = 1

Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x = {0,1}.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 3

Diberikan persamaan eksponensial 2^{x^2+3x+2}=5^{x^2+3x+2}. Tentukan nilai – nilai yang memenuhi persamaan tersebut.

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Dengan meninjau bentuk persamaan iii, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah f(x)=0.

x2 + 3x + 2 = 0

(x + 2)(x + 1) = 0

x = -2  dan x = -1

Jadi, nilai – nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x={-2,-1}

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 4

Penyelesaian dari persamaan 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 +2x+4 = 120 adalah …

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Dengan mengingat sifat eksponensial, bentuk tersebut dapat diubah menjadi bentuk perkalian sebagai berikut.

2.2x + 22.2x + 23.2x + 24..2x = 120

Perhatikan bentuk diatas ! Untuk memudahkan pengerjaan, kita misalkan bentuk 2x = y agar bentuk persamaan menjadi lebih simpleks.

2y + 4y + 8y + 16y = 120

30y = 120

y = 4

Ingat kembali bahwa y = 2x. Jangan lupa untuk mengembalikannya ke bentuk semula.

2x = 4

2x = 22

x = 2

Jadi penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x = 2.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 5

Jika x memenuhi persamaan \sqrt{\frac{1}{32^x}}=\sqrt[3]{\frac{2^{2x}}{2^{x+1}} , nilai dari 17x adalah….

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Bentuk tersebut sangat kompleks untuk dikerjakan. Lebih baik kita ubah terlebih dahulu bentuk yang berada dalam akar untuk memudahkan.

\sqrt{\frac{1}{2^{5x}}}=\sqrt[3]{\frac{2^{2x}}{2^{x+1}}

\frac{1}{2^{\frac{5x}2}}=\frac{2^{\frac{2x}3}}{2^{\frac{x+1}3}}}

Ingat ! Kita harus sabar dan teliti dalam mengerjakan bentuk soal semacam ini. Jangan sampai salah dalam menggunakan sifatnya. Dengan mengalikan silang, diperoleh,

2^{\frac{x+1}3}=2^{\frac{5x}2}.2^{\frac{2x}3}

2^{\frac{x+1}3}=2^{\frac{5x}2+\frac{2x}3}

2^{\frac{x+1}3}=2^{\frac{19x}6}

Perhatikan bahwa basis sudah sama. Bentuk seperti ini sudah familiar dengan kita, sehingga akan mudah pengerjaannya.

\frac{x+1}{3}=\frac{19x}{6}

57x=6x+6

51x=6

x=\frac{2}{17}

Nilai x yang memenuhi adalah x = 2/17. Sehingga nilai dari 17x = 17 . 2/17 atau 17x = 2

Jadi, 17x = 2

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 6

Hasil kali semua akar dari persamaan 22x – 3(2x+1) + 8 = 0 adalah….

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Perhatikan bahwa bentuk tersebut dapat diubah menjadi seperti berikut.

(2x)2 – 3(2. 2x) + 8 = 0

(2x)2 – 6 . 2x + 8 = 0

Tinjau bentuk diatas. Kita dapat memisalkan 2x = y agar menjadi lebih mudah.

y2 – 6y + 8 = 0

(y – 4)(y – 2) = 0

y = 4 dan y = 2

Ingat ! Jangan lupa untuk mengembalikannya ke bentuk asal. Bahwa .  (Kebanyakan dari kita terburu – buru di bagian ini. Kesalahan kita adalah kita langsung mendapati bahwa himpunan penyelesaiannya adalah 4 dan 2. Telitilah, ya !)

Untuk y=4 diperoleh 2x = 4 , maka  x1 = 2

Untuk y=2 diperoleh 2x = 2 , maka x2 = 1

Hasil kali semua akar persamaan tersebut adalah x1 x2 = 2 . 1 sehingga x1 x2 = 2

Jadi, hasil kali semua akar persamaan tersebut adalah 2.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 7

Persamaan eksponensial 2x+1 + 22x+3 = 36 memiliki penyelesaian….

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Langkahnya sama. Kita harus mengubah bentuk agar terlihat mudah untuk dijadikan sebagai permisalan. Perhatikan bahwa bentuk diatas dapat diubah menjadi seperti berikut,

2.2x + 23.2x = 36

2.2x + 8.2x = 36

Jelas bahwa bentuk tersebut sudah familiar dengan kita. Sehingga kita hanya tinggal memisalkan bentuk 2x = y.

2y + 8y2 = 36

4y2 + y – 18 = 0

(y – 2)(4y + 9) = 0

y = 2  dan  y = -9/4

Untuk y=2 diperoleh 2x = 2 , maka x1 = 1

Untuk y=-9/4 diperoleh 2x = -9/4. Tidak ada yang memenuhi bentuk tersebut.

Jadi penyelesaian dari persamaan eksponensial tersebut adalah x=1.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 8

Bilangan bulat x dan y memenuhi persamaan 2x+2y = 16 dan 3x-y = 3. Nilai dari x+y=….

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Tinjau persamaan 2x+2y = 16. Kita dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai berikut,

2x+2y = 24

x + 2y = 4 … (1)

Tinjau persamaan 3x-y = 3 Hampir sama dengan persamaan sebelumnya, kita dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai berikut,

3x-y = 31

x – y = 1

x = y + 1 … (2)

Dengan melakukan substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh,

x + 2y = 4

y + 1 + 2y = 4

3y = 3

y = 1

Didapat nilai y=1. Maka nilai x dapat ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai y ke salah satu persamaan.

x = y + 1

x = 1 + 1

x = 2

Sehingga nilai dari x+y=2+1 atau x+y=3.

Jadi, nilai x + y = 3

Note : Persamaan (1) dan persamaan (2) dapat diselesaikan dengan cara eliminasi. Tergantung selera kita masing – masing ataupun situati soal.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 9

Himpunan penyelesaian dari persamaan (2x + 5)4x+2 = (x + 1)4x+2 adalah …

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Tinjau bentuk persamaan iv. Persamaan tersebut memiliki fungsi eksponen yang sama dengan basis berbeda. Oleh karena itu, penyelesaiannya ada dua macam.

*Untuk f(x) = g(x), maka 2x + 5 = x + 1  Dengan begitu didapat x = -4

*Untuk h(x) = 0, maka 4x + 2 = 0. Dengan begitu didapat x = – ½ . Ingat untuk syarat ini harus berlaku f(x) dan g(x) tidak nol. Oleh karena itu kita perlu mengecek satu demi satu ke fungsi basisnya.

2x + 5 à 2(-1/2) + 5 = 4 (tidak nol)

x + 1 à -1/2 + 1 = ½ (tidak nol)

Didapat bahwa x = – ½  merupakan penyelesaian dari persamaan.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x = {-4, – ½}.

 

Adakalanya soal – soal persamaan eksponensial tidak berbentuk seperti bentuk diatas.  Lantas bagaimana pengerjaannya ? Perhatikan contoh – contoh berikut.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 10

Persamaan 2x+2 = 32x memiliki penyelesaian …

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Jika kita amati, basis dan pangkat nya semuanya berbeda. Tidak memenuhi salah satu bentuk dari bentuk i hingga v. Lalu, bagaimana untuk mendapatkan nilai yang memenuhi ?

Soal seperti ini sering ditemukan pada soal olimpiade. Yaitu kita dituntut untuk berpikir kritis agar jalan keluar dari soal dapat ditemukan. Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat kita tuliskan sebagai bentuk logaritma sebagai berikut.

log2x+2 = log32x

Dengan mengingat sifat logaritma,

(x + 2)log2 = 2x.log3

(x + 2)log2 = 2x.log3

x.log2 + 2.log2 = 2x.log3

2x.log3 – x.log2 = log22

x(2.log3 – log2) = log4

x(log9 – log2) = log4

x.log4,5 = log4

x = log4 / log4,5

x = 4,5log4

Jadi penyelesaiannya adalah x = 4,5log4.

 

Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya 11

Nilai x yang memenuhi persamaan 6x-1 = 3x+1 adalah…

Pembahasan Soal Persamaan Eksponensial:

Cara pengerjaan soal ini sama persis dengan sebelumnya. Yaitu tulislah persamaan dalam bentuk logaritma.

log6x-1 = log3x+1

  (x – 1)log6 = (x + 1)log3

x.log6 – log6 = x.log3 + log3

x.log6 – x.log3 = log6 + log3

x(log6 – log3) = log18

x.log2 = log 18

x = log18 / log 2

x = 2log18

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 2log18.

               

                Pada intinya, pengerjaan dari soal – soal persamaan eksponensial mengacu pada lima bentuk diatas. Lalu, ubahlah bentuk – bentuk persamaan yang rumit sehingga lebih simpleks dan familiar dengan kita. Ingat ! Ketelitian dan kesabaran sangat digunakan untuk menghadapi soal semacam ini. Jangan sampai salah dalam menggunakan sifatnya.

Namun, ada juga persamaan eksponensial yang tidak mengacu pada lima bentuk tersebut. Pada contoh 10 dan contoh 11, pengerjaan dilakukan dengan cara menulis bentuk persamaan dengan logaritma sehingga mudah dikerjakan. Bukan hanya bentuk soal itu, tapi masih banyak lagi soal – soal persamaan eksponensial yang cara pengerjaannya berbeda. Kembali pada permasalahan yang tadi, kita dituntut untuk berpikir kritis terhadap soal.

Sekian artikel mengenai Contoh Soal Persamaan Eksponensial Dan Pembahasannya. Kita cukupkan saja artikel kali ini. Kedepannya, kita akan belajar lebih dalam lagi mengenai matematika. Materi – materi selain eksponen akan kita kupas bersama – sama di lain artikel. Mari kita genggam kuatnya ilmu seiring perkembangan zaman. Jangan lupakan akan ilmu yang mendasari semua hal di dunia ini. Sekian, selamat berlatih. Sukses selalu !

 

Gambar Gravatar
Nama : Muhammad Hafidz Agraprana Tempat, Tanggal Lahir : Banjarnegara, 03 Desember 2000 Alamat : Banjarnegara, Jawa Tengah, Indonesia

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *